Решить уравнение графическим способом

Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули Цель работы: хотя уравнения с модулями ученики начинают изучать уже с 6-го — 7-го класса, где они проходят самые азы уравнений с модулями. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досканального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Введение: Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово омонимрешить уравнение графическим способом имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, програмировании и других точных науках. В архитектуре-это исходная еденица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике-это термин, применяемый в различных облостях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и. Модуль объемного сжатия в физике -отношение нормального решить уравнение графическим способом в материале к относительному удлинению. Понятия и определения Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы: Уравнение-это равенство, сродержащее переменные. Уравнение с модулем-это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины под знаком модуля. В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно: Модуль-абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля: Из определения следует, что для любого действительного числа a, Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или -a. Если число a положительно, то -a отрицательно, т. В самом деле, кактак и равны большему из чисел -a и a, а значит равны между собой. Для любого действительного числа a справедливы неравенства Умножая второе равенство на -1 при этом знак неравенства изменится на противоположныймы получим следующие неравенства: справедливые для любого решить уравнение графическим способом числа a. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: Теорема 2. Если то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны. Способы решения уравнений, содержащих модуль. Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основыватся на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров одним и тем же способом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль. Решение Аналитическое решение 1-й способ Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. Решая полученные уравнения, находим: Ответ: Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо a, либо. Графическое решение Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являтся корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построениии графиков, не всегда я вляются точными. Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В решить уравнение графическим способом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно решить уравнение графическим способом корней удовлетворяют они нашему промежутку или нет. Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ. Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку 0; 3 на оси OY см. Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY. Решение: Аналитическое решение 1-й способ Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было решить уравнение графическим способом делать этого, а сейчас она возникла. Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, - именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих. Поскольку в левой части - модуль, а в правой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. Таким образом, область допустимых значений модуля Теперь можно рассуждать также, как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы: 1 и 2 Решим каждую систему: 1 входит в промежуток и является корнем уравнения. Ответ: 2-й способ Решить уравнение графическим способом, при каких значениях x модуль в левой части уравнения обращается в нуль: Получим два промежутка, на каждом из которых решим данное уравнение см. Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами этих чисел. Использование геометрической интерпритации модуля для решения уравнений. Геометрический смысл модуля решить уравнение графическим способом величин-это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения x — a -длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсцисами а и х. Перевод алгеб-раической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений. Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпри-тации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 решить уравнение графическим способом единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно решением данного уравнения будет являтся не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ. Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, не раскрывая модули что особенно важно, когда модулей достаточно много : "Алгебраическая сумма модулей решить уравнение графическим способом линейных выражений представляет собой кусочно- линейную функцию, график которой состоит из n +1 решить уравнение графическим способом отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна - произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя - с абсциссой, большей большего из корней. Решение нестандартных уравнений, содержащих модули. Ответ: — 4; — 1. Уравнение равносильно системе Ответ: Пример12. Ответ: {— 25; 3}. И в заключении я хотел бы сказать, что для досканального изучения материала исследовательская работа подходит лучше всего. Мне представилась возможность больше поработать с интерестной, для меня, темой модуля и выйти за рамки того материала, который предоставляет нам учебник 10-го класса. Прочитав изучив другую решить уравнение графическим способом, я узнал много нового и, как я считаю, важного для меня. Список литературы Учебник математики для Х класса - Уравнения и неравенства — Башмаков Задачи всесоюзных математических олимпиад-Васильев Задачи решить уравнение графическим способом экзаменов по математике- Нестеренко Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта Дата добавления: 28. Мнения авторов опубликованных материалов могут не совпадать с позицией редакции.